Resume - index

Sistem Persamaan Linear¶

Persamaan Linear Sebuah ekspresi linear dalam $n$ perubahan tak diketahui (atau variabel) $x_1, x_2, ..., x_n$ adalah ekspresi berbentuk

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n

(1)

dengan $a_1, a_2, ..., a_n$ adalah bilangan real tetap.

Sebuah persamaan linear dalam perubahan $x_1, x_2, ..., x_n$ adalah persamaan yang dapat menyeimbangkan hanya menggunakan penjumlahan dan pengurangan menjadi bentuk

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b

(2)

Sistem Persamaan Linear Sebuah sistem persamaan linear (atau sistem linear ) adalah himpunan persamaan linear. Suatu sistem linier disebut homogen jika seluruh persamaannya homogen.

Saat menampilkan sistem yang terdiri atas $m$ persamaan dalam $n$ perubahan $x_1, x_2, ..., x_n$ , biasanya kita menuliskan setiap persamaan dalam bentuk baku dan mengesampingkan suku-suku yang sesuai dengan dalam kolom:

\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned}

(3)

Sistem homogen biasanya ditulis sebagai:

\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= 0 \end{aligned}

(4)

Himpunan solusi berisi tak hingga banyak elemen; artinya, terdapat tak hingga solusi.Contoh:

x - y = 0\\ x - y = 1\\ x - y = 0\\ x + y = 0\\ x - y = 1\\ 2x - 2y = 2

(5)

memiliki koefisien matriks:

A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -3 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 1 & -3 \\ -2 & 7 & -5 & 2 & 2 \end{bmatrix}

(6)

dan vektor konstantanya:

b = \begin{bmatrix} 9 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix}

(7)

Augmentasi Matriks Matriks augmentasi (augmented matrix) adalah matriks yang dibentuk dengan menggabungkan dua matriks yang memiliki jumlah baris sama, biasanya matriks koefisien ( $A$ ) dan vektor konstanta ( $b$ ), menjadi satu kesatuan [ $A|b$ ] untuk mempermudah penyelesaian sistem persamaan linear, sering kali menggunakan metode eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan.

Contoh Augmentasi Matriks: $x_1-x_2+2x_3= 1 \\ x_1+x_2+x_3= 8 \\ x_1+x_2= 5$

Berikut adalah matriks augmentasinya:

A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 8\\ 1 & 1 & 0 & 5 \end{bmatrix}

(8)

A = matrix(QQ, 3, 3, [[1, -1, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 0]]) b = vector(QQ, [1, 8, 5]) M = A.augment(b) M

Persamaan Linear Dua Variabel¶

Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah persamaan dengan dua variabel (biasanya ( $x$ ) dan ( $y$ )) yang memiliki pangkat tertinggi satu dan dihubungkan tanda sama dengan (( $=$ )), berbentuk umum ( $ax+by=c$ ). Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terdiri dari dua persamaan tersebut untuk mencari nilai variabel yang sama.

Persamaan Linear Tiga Variabel¶

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah kumpulan tiga persamaan linear yang masing-masing memiliki tiga variabel berpangkat satu (umumnya $x, y, z$ ) dan dihubungkan oleh tanda sama dengan ( $=$ ). SPLTV mencari nilai-nilai variabel yang sama untuk semua persamaan, umumnya diselesaikan melalui metode eliminasi, substitusi, gabungan, atau matriks.

Aritmatika Matriks¶

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur. Matriks adalah array (daftar) bilangan yang terdiri dari baris-baris dan kolom-kolom. Aljabar matriks adalah aljabar khusus untuk array tersebut. Setiap array diperlakukan sebagai satu entitas yang membuatnya sangat berguna dalam menganalisa data, terutama data yang multi variabel.